(問) 求解一階常微分方程

jason333hot

題目:

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我不知道c和a怎換的...希望知道的大大可以提供完整作法，感謝!!
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u06m4rmp4

找正交軌跡
f(x,y)=(x-c)^2+y^2=c^2
df/dx=2(x-c)+2yy'=0
y'=(c-x)/y

orthogonal 代表 兩曲線斜率相乘為-1
=>y'=y/(x-c)
變數分離
=>dy/y=dx/(x-c)
ln(y)=ln(x-c)+A
A是積分常數
在兩邊同取指數
y=exp(a)*(x-c)=k(x-c)
原始圖形是一個 圓心在(c,0) 半徑為c的圓
他的正交軌跡為過(c,0)的直線

jason333hot

u06m4rmp4 發表於 2016-7-1 05:47 AM

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找正交軌跡
f(x,y)=(x-c)^2+y^2=c^2
df/dx=2(x-c)+2yy'=0

我大概懂你的做法，我也知道正交兩斜率相乘為-1，但看你的作法到後面我不知道要如何合成
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jason333hot

我終於知道如何解了，在此附上完整解答流程供參考

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先說 參考答案的alpha是任意數跟a無關 正交軌跡族是一群函數的集合

然後答案不唯一 我給的那個也是答案

你這個答案只是換個想法作 也是答案之一
(x-c)^2+y^2 = c^2
整理後
f = x^2+y^2 = cx
c = (x^2+y^2)/x
df/dx=2x+2yy' = c = (x^2+y^2)/x
y' = (y^2-x^2)/2xy
兩曲線斜率相乘為-1
y' = 2xy/(x^2-y^2)
假設 y = vx
y'= v + xv'
v+xv' = 2vx^2/(x^2-vx^2) = 2v/(1-v^2)
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jason333hot

u06m4rmp4 發表於 2016-7-1 02:56 PM

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先說 參考答案的alpha是任意數跟a無關 正交軌跡族是一群函數的集合

然後答案不唯一 我給的那個也是答案

摁摁，我知道alpha是變數，我本來的疑問是如何整理成那種型式，因為他扯到了感覺像是齊次的觀念，就是令u=y/x，y=ux，在左右兩邊微分dy=udx+xdu 最後把y和dy通通換掉，再慢慢求解。
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我個人是覺得 拿到題目就解就好了
反正找正交軌跡都是解一階ode

一階ode 解題的方法有很多種 但是基本上應該都算可以解 頂多解不是初等函數而已