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carlhutant 發表於 2012-8-11 03:47 PM

又一個數學問題

n為正整數滿足213＜5n＜214則 n＝？<div></div>

super_cobe 發表於 2012-8-11 04:37 PM

2^10＜2^13＜5^n＜2^14<2^15
2^10=4^5
2^15=8^5
n=5

xyz73524 發表於 2012-8-11 09:09 PM

log(2^13)＜log(5^n)＜log(2^14)
13*log2<n*log5<14*log2
13*0.301<n*0.699<14*0.301
(13*301)/699<n<(14*301)/699
5.59<n<6.02,故n=6

carlhutant 發表於 2012-8-13 09:12 PM

xyz73524 發表於 2012-8-11 09:09 PM static/image/common/back.gif
log(2^13)＜log(5^n)＜log(2^14)
13*log2

請問log是什麼意思？請問log是什麼意思？

灼眼的夏娜III 發表於 2012-8-14 06:19 PM

n為正整數滿足2^13＜5^n＜2^14則 n＝？
同乘2^n
2^(13+n)<10^n<2^(14+n)
同取log以10為底
(13+n)log2<n<(14+n)log2
log2=0.3010
3.9130+0.3010*n<n<4.2140+0.3010*n
看3.9130和4.2140，知道n至少要4以上
代入4發現不合，5正確<br><br><br><br><br><div></div>

xyz73524 發表於 2012-8-14 07:54 PM

carlhutant 發表於 2012-8-13 09:12 PM static/image/common/back.gif
請問log是什麼意思？請問log是什麼意思？

如果大大未學過log(對數)的話也無所謂
那就直接算2^13=8192,2^14=16384
(這兩個數並不至於太難算,因為2^10=1024)
然後再考慮5^3=125,5^4=625,5^5=3125,5^6=15625
故n=6

3857gwo 發表於 2012-8-16 05:10 AM

本帖最後由 3857gwo 於 2012-8-16 05:15 AM 編輯

這一題應該要用以10為底的對數log來解:
(1) 分別代入對數log
log2^13 = 13log2 = 13x0.301 = 3.91
log5^n = nlog5 = 0.7n
log2^14 = 14log2 = 14x0.301 = 4.21
得到下式: 3.91 < 0.7n < 4.21

(2) 分別除以 0.7:
得到下式: 5.58 < n < 6.01
在這個範圍內, n=6 是唯一正整數!

(3) 驗証:
2^13 = 8192
5^n = 5^6 = 15625
2^14 = 16384
8192 < 15625 < 16384
得証